\(\int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx\) [389]

Optimal result

Integrand size = 25, antiderivative size = 230 \[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=-\frac {6 i d (c+d x)^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {24 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac {24 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac {12 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2} \]

[Out]

-6*I*d*(d*x+c)^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))/b^2+24*d^2*(d*x+c)*cos(b*x+a)/b^3-4*(d*x+c)^3*cos(b*x+a)/b+6*I*d^2*(d*
x+c)*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^3-6*I*d^2*(d*x+c)*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))/b^3-6*d^3*polylog(3,-I*exp(I
*(b*x+a)))/b^4+6*d^3*polylog(3,I*exp(I*(b*x+a)))/b^4-(d*x+c)^3*sec(b*x+a)/b-24*d^3*sin(b*x+a)/b^4+12*d*(d*x+c)
^2*sin(b*x+a)/b^2

Rubi [A] (verified)

Time = 0.40 (sec) , antiderivative size = 230, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 19, number of rules used = 9, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.360, Rules used = {4516, 3377, 2717, 4492, 4494, 4266, 2611, 2320, 6724} \[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=-\frac {6 i d (c+d x)^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {24 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {24 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}+\frac {12 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}-\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b} \]

[In]

Int[(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x],x]

[Out]

((-6*I)*d*(c + d*x)^2*ArcTan[E^(I*(a + b*x))])/b^2 + (24*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x])/b^3 - (4*(c + d*x)^3*Cos[
a + b*x])/b + ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)*PolyLog[2, I*E
^(I*(a + b*x))])/b^3 - (6*d^3*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))])/b^4 + (6*d^3*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))])/b^
4 - ((c + d*x)^3*Sec[a + b*x])/b - (24*d^3*Sin[a + b*x])/b^4 + (12*d*(c + d*x)^2*Sin[a + b*x])/b^2

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 2717

Int[sin[Pi/2 + (c_.) + (d_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[Sin[c + d*x]/d, x] /; FreeQ[{c, d}, x]

Rule 3377

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Cos[e + f*x]/f), x]
+ Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cos[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 4266

Int[csc[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)]*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[-2*(c + d*x)^m*(ArcTanh[E
^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))]/f), x] + (-Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 - E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))],
x], x] + Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + E^(I*k*Pi)*E^(I*(e + f*x))], x], x]) /; FreeQ[{c, d, e,
f}, x] && IntegerQ[2*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 4492

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sin[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> -Int[
(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^n*Tan[a + b*x]^(p - 2), x] + Int[(c + d*x)^m*Sin[a + b*x]^(n - 2)*Tan[a + b*x]^p, x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, m}, x] && IGtQ[n, 0] && IGtQ[p, 0]

Rule 4494

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*Sec[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*Tan[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.), x_Symbol] :> Simp[
(c + d*x)^m*(Sec[a + b*x]^n/(b*n)), x] - Dist[d*(m/(b*n)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Sec[a + b*x]^n, x], x] /; Fre
eQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4516

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*(F_)[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*(G_)[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(q_.), x_Symbol] :> Int
[ExpandTrigExpand[(e + f*x)^m*G[c + d*x]^q, F, c + d*x, p, b/d, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && M
emberQ[{Sin, Cos}, F] && MemberQ[{Sec, Csc}, G] && IGtQ[p, 0] && IGtQ[q, 0] && EqQ[b*c - a*d, 0] && IGtQ[b/d,
1]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \int \left (3 (c+d x)^3 \sin (a+b x)-(c+d x)^3 \sin (a+b x) \tan ^2(a+b x)\right ) \, dx \\ & = 3 \int (c+d x)^3 \sin (a+b x) \, dx-\int (c+d x)^3 \sin (a+b x) \tan ^2(a+b x) \, dx \\ & = -\frac {3 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac {(9 d) \int (c+d x)^2 \cos (a+b x) \, dx}{b}+\int (c+d x)^3 \sin (a+b x) \, dx-\int (c+d x)^3 \sec (a+b x) \tan (a+b x) \, dx \\ & = -\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac {9 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \cos (a+b x) \, dx}{b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \sec (a+b x) \, dx}{b}-\frac {\left (18 d^2\right ) \int (c+d x) \sin (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {6 i d (c+d x)^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {18 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}+\frac {12 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}-\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}+\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x) \sin (a+b x) \, dx}{b^2}-\frac {\left (18 d^3\right ) \int \cos (a+b x) \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {6 i d (c+d x)^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {24 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac {18 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac {12 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}-\frac {\left (6 i d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}+\frac {\left (6 i d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}-\frac {\left (6 d^3\right ) \int \cos (a+b x) \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {6 i d (c+d x)^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {24 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac {24 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac {12 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2}-\frac {\left (6 d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,-i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {\left (6 d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,i x)}{x} \, dx,x,e^{i (a+b x)}\right )}{b^4} \\ & = -\frac {6 i d (c+d x)^2 \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right )}{b^2}+\frac {24 d^2 (c+d x) \cos (a+b x)}{b^3}-\frac {4 (c+d x)^3 \cos (a+b x)}{b}+\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^3 \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac {(c+d x)^3 \sec (a+b x)}{b}-\frac {24 d^3 \sin (a+b x)}{b^4}+\frac {12 d (c+d x)^2 \sin (a+b x)}{b^2} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(532\) vs. \(2(230)=460\).

Time = 1.71 (sec) , antiderivative size = 532, normalized size of antiderivative = 2.31 \[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=-\frac {\sec (a+b x) \left (3 b^3 c^3-12 b c d^2+9 b^3 c^2 d x-12 b d^3 x+9 b^3 c d^2 x^2+3 b^3 d^3 x^3+6 i b^2 c^2 d \arctan \left (e^{i (a+b x)}\right ) \cos (a+b x)+2 b^3 c^3 \cos (2 (a+b x))-12 b c d^2 \cos (2 (a+b x))+6 b^3 c^2 d x \cos (2 (a+b x))-12 b d^3 x \cos (2 (a+b x))+6 b^3 c d^2 x^2 \cos (2 (a+b x))+2 b^3 d^3 x^3 \cos (2 (a+b x))-6 b^2 c d^2 x \cos (a+b x) \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )-3 b^2 d^3 x^2 \cos (a+b x) \log \left (1-i e^{i (a+b x)}\right )+6 b^2 c d^2 x \cos (a+b x) \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )+3 b^2 d^3 x^2 \cos (a+b x) \log \left (1+i e^{i (a+b x)}\right )-6 i b d^2 (c+d x) \cos (a+b x) \operatorname {PolyLog}\left (2,-i e^{i (a+b x)}\right )+6 i b d^2 (c+d x) \cos (a+b x) \operatorname {PolyLog}\left (2,i e^{i (a+b x)}\right )+6 d^3 \cos (a+b x) \operatorname {PolyLog}\left (3,-i e^{i (a+b x)}\right )-6 d^3 \cos (a+b x) \operatorname {PolyLog}\left (3,i e^{i (a+b x)}\right )-6 b^2 c^2 d \sin (2 (a+b x))+12 d^3 \sin (2 (a+b x))-12 b^2 c d^2 x \sin (2 (a+b x))-6 b^2 d^3 x^2 \sin (2 (a+b x))\right )}{b^4} \]

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Sec[a + b*x]^2*Sin[3*a + 3*b*x],x]

[Out]

-((Sec[a + b*x]*(3*b^3*c^3 - 12*b*c*d^2 + 9*b^3*c^2*d*x - 12*b*d^3*x + 9*b^3*c*d^2*x^2 + 3*b^3*d^3*x^3 + (6*I)
*b^2*c^2*d*ArcTan[E^(I*(a + b*x))]*Cos[a + b*x] + 2*b^3*c^3*Cos[2*(a + b*x)] - 12*b*c*d^2*Cos[2*(a + b*x)] + 6
*b^3*c^2*d*x*Cos[2*(a + b*x)] - 12*b*d^3*x*Cos[2*(a + b*x)] + 6*b^3*c*d^2*x^2*Cos[2*(a + b*x)] + 2*b^3*d^3*x^3
*Cos[2*(a + b*x)] - 6*b^2*c*d^2*x*Cos[a + b*x]*Log[1 - I*E^(I*(a + b*x))] - 3*b^2*d^3*x^2*Cos[a + b*x]*Log[1 -
I*E^(I*(a + b*x))] + 6*b^2*c*d^2*x*Cos[a + b*x]*Log[1 + I*E^(I*(a + b*x))] + 3*b^2*d^3*x^2*Cos[a + b*x]*Log[1
+ I*E^(I*(a + b*x))] - (6*I)*b*d^2*(c + d*x)*Cos[a + b*x]*PolyLog[2, (-I)*E^(I*(a + b*x))] + (6*I)*b*d^2*(c +
d*x)*Cos[a + b*x]*PolyLog[2, I*E^(I*(a + b*x))] + 6*d^3*Cos[a + b*x]*PolyLog[3, (-I)*E^(I*(a + b*x))] - 6*d^3
*Cos[a + b*x]*PolyLog[3, I*E^(I*(a + b*x))] - 6*b^2*c^2*d*Sin[2*(a + b*x)] + 12*d^3*Sin[2*(a + b*x)] - 12*b^2*
c*d^2*x*Sin[2*(a + b*x)] - 6*b^2*d^3*x^2*Sin[2*(a + b*x)]))/b^4)

Maple [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 676 vs. \(2 (213 ) = 426\).

Time = 8.57 (sec) , antiderivative size = 677, normalized size of antiderivative = 2.94

method	result	size
risch	\(-\frac {2 \left (d^{3} x^{3} b^{3}+3 b^{3} c \,d^{2} x^{2}+3 i b^{2} d^{3} x^{2}+3 b^{3} c^{2} d x +6 i b^{2} c \,d^{2} x +b^{3} c^{3}+3 i b^{2} c^{2} d -6 b \,d^{3} x -6 c \,d^{2} b -6 i d^{3}\right ) {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}}{b^{4}}-\frac {2 \left (d^{3} x^{3} b^{3}+3 b^{3} c \,d^{2} x^{2}-3 i b^{2} d^{3} x^{2}+3 b^{3} c^{2} d x -6 i b^{2} c \,d^{2} x +b^{3} c^{3}-3 i b^{2} c^{2} d -6 b \,d^{3} x -6 c \,d^{2} b +6 i d^{3}\right ) {\mathrm e}^{-i \left (x b +a \right )}}{b^{4}}-\frac {2 \,{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )} \left (d^{3} x^{3}+3 c \,d^{2} x^{2}+3 c^{2} d x +c^{3}\right )}{b \left ({\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+1\right )}+\frac {3 d^{3} a^{2} \ln \left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 d^{3} \ln \left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{2}}+\frac {6 i c \,d^{2} \operatorname {polylog}\left (2, -i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {6 i d^{3} x \operatorname {polylog}\left (2, i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {6 d^{2} c \ln \left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{2}}+\frac {3 d^{3} \ln \left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{2}}-\frac {6 i d \,c^{2} \arctan \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{2}}+\frac {6 d^{3} \operatorname {polylog}\left (3, i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {3 d^{3} a^{2} \ln \left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {6 d^{2} c \ln \left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a}{b^{3}}+\frac {6 i d^{3} x \operatorname {polylog}\left (2, -i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {6 i c \,d^{2} \operatorname {polylog}\left (2, i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}-\frac {6 i d^{3} a^{2} \arctan \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {6 d^{2} c \ln \left (1+i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{2}}-\frac {6 d^{3} \operatorname {polylog}\left (3, -i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}+\frac {6 d^{2} c \ln \left (1-i {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a}{b^{3}}+\frac {12 i d^{2} c a \arctan \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}\)	\(677\)

[In]

int((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-2*(d^3*x^3*b^3+3*b^3*c*d^2*x^2+3*b^3*c^2*d*x+b^3*c^3+3*I*b^2*d^3*x^2-6*b*d^3*x+6*I*b^2*c*d^2*x-6*c*d^2*b+3*I*
b^2*c^2*d-6*I*d^3)/b^4*exp(I*(b*x+a))-2*(d^3*x^3*b^3+3*b^3*c*d^2*x^2+3*b^3*c^2*d*x+b^3*c^3-3*I*b^2*d^3*x^2-6*b
*d^3*x-6*I*b^2*c*d^2*x-6*c*d^2*b-3*I*b^2*c^2*d+6*I*d^3)/b^4*exp(-I*(b*x+a))-2*exp(I*(b*x+a))*(d^3*x^3+3*c*d^2*
x^2+3*c^2*d*x+c^3)/b/(exp(2*I*(b*x+a))+1)+3/b^4*d^3*a^2*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))-3/b^2*d^3*ln(1+I*exp(I*(b*x+a))
)*x^2+6*I/b^3*d^2*c*polylog(2,-I*exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^3*d^3*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))*x+6/b^2*d^2*c*ln(1-I*
exp(I*(b*x+a)))*x+3/b^2*d^3*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*x^2-6*I/b^2*d*c^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))+6*d^3*polylog(3,I*
exp(I*(b*x+a)))/b^4-3/b^4*d^3*a^2*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))-6/b^3*d^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*a+6*I/b^3*d^3*poly
log(2,-I*exp(I*(b*x+a)))*x-6*I/b^3*d^2*c*polylog(2,I*exp(I*(b*x+a)))-6*I/b^4*d^3*a^2*arctan(exp(I*(b*x+a)))-6/
b^2*d^2*c*ln(1+I*exp(I*(b*x+a)))*x-6*d^3*polylog(3,-I*exp(I*(b*x+a)))/b^4+6/b^3*d^2*c*ln(1-I*exp(I*(b*x+a)))*a
+12*I/b^3*d^2*c*a*arctan(exp(I*(b*x+a)))

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 896 vs. \(2 (204) = 408\).

Time = 0.30 (sec) , antiderivative size = 896, normalized size of antiderivative = 3.90 \[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/2*(2*b^3*d^3*x^3 + 6*b^3*c*d^2*x^2 + 6*b^3*c^2*d*x + 2*b^3*c^3 + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x +
a) + sin(b*x + a)) - 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog
(3, -I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) - 6*d^3*cos(b*x + a)*polylog(3, -I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 8*(b^3*d
^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + b^3*c^3 - 6*b*c*d^2 + 3*(b^3*c^2*d - 2*b*d^3)*x)*cos(b*x + a)^2 + 6*(I*b*d^3*x + I*
b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 6*(I*b*d^3*x + I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(I*co
s(b*x + a) - sin(b*x + a)) + 6*(-I*b*d^3*x - I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a)) + 6
*(-I*b*d^3*x - I*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*dilog(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a)) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^
2*d^3)*cos(b*x + a)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + I) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a
)*log(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + I) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a
)*log(I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a
)*log(I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x + a
)*log(-I*cos(b*x + a) + sin(b*x + a) + 1) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + 2*a*b*c*d^2 - a^2*d^3)*cos(b*x +
a)*log(-I*cos(b*x + a) - sin(b*x + a) + 1) - 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x +
a) + I*sin(b*x + a) + I) + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*cos(b*x + a)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x +
a) + I) - 24*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*c^2*d - 2*d^3)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a))/(b^4*cos(b*x + a))

Sympy [F(-2)]

Exception generated. \[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\text {Exception raised: HeuristicGCDFailed} \]

[In]

integrate((d*x+c)**3*sec(b*x+a)**2*sin(3*b*x+3*a),x)

[Out]

Exception raised: HeuristicGCDFailed >> no luck

Maxima [F]

\[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\int { {\left (d x + c\right )}^{3} \sec \left (b x + a\right )^{2} \sin \left (3 \, b x + 3 \, a\right ) \,d x } \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-2*((cos(3*b*x + 3*a) + cos(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + (3*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*cos(3*b*x + 3*a) + 3*cos(2*b
*x + 2*a)*cos(b*x + a) + (sin(3*b*x + 3*a) + sin(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 3*sin(3*b*x + 3*a)*sin(2*b*x + 2
*a) + 3*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + cos(b*x + a))*c^3/(b*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 2*b*cos(3*b*x + 3*a)*cos(b*x
+ a) + b*cos(b*x + a)^2 + b*sin(3*b*x + 3*a)^2 + 2*b*sin(3*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + b*sin(b*x + a)^2) - 3/2*
(4*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*x*cos(b*x + a) + 12*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + 2*a) + b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(a
) + b*x*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + 2*a) + b*x*sin(b*x + 2*a)*sin(a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 4*(b*x*cos(b*x + a)
- sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 12*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + 2*a) + b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(a) + b*x
*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + 2*a) + b*x*sin(b*x + 2*a)*sin(a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + 4*(b*x*cos(b*x + a) - sin(b
*x + a))*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 4*((b*x*cos(2*b*x + 3*a) + b*x*cos(a) + sin(2*b*x + 3*a) + sin(a))*cos(3*b*x + 3
*a)^2 + (b*x*cos(a) + sin(a))*cos(b*x + a)^2 + (b*x*cos(2*b*x + 3*a) + b*x*cos(a) + sin(2*b*x + 3*a) + sin(a))
*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x*cos(a) + sin(a))*sin(b*x + a)^2 + 2*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a) + (b*x*cos(a
) + sin(a))*cos(b*x + a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a) + (b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x
+ a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b*x*cos(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + (b*x*cos(a) + sin(a))*sin(b*x + a) + sin(2*
b*x + 3*a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 4*
a) + 4*(6*b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + 6*b*x*cos(b*x + a)*sin(b*x + 2*a)*sin(a) + b*x*cos(2*b*x +
3*a)^2 + b*x*sin(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*x + 2*(3*b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + b*x*cos(a
))*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(3*b*x*cos(b*x + a)*sin(b*x + 2*a) + b*x*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a) +
4*(2*b*x*cos(b*x + a)*cos(a) + 3*(b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x + a)^2)*cos(b*x + 2*a) - 2*cos(a)*sin(b*x +
a))*cos(2*b*x + 3*a) + 12*(b*x*cos(b*x + a)^2*cos(a) + b*x*cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(b*x + 2*a) - ((cos(2*b*
x + 3*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + sin(a)^2)
*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a
)^2 + (cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin
(a) + sin(a)^2)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)
^2)*sin(b*x + a)^2 + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + cos(b*x + a
)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a))*cos(3*b*x
+ 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2*cos(a) + cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x +
a) + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a
)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2*sin(a) + sin(b*x + a)^2*si
n(a))*sin(2*b*x + 3*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*sin(b*x + a) + 1) + ((cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*c
os(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + sin(a)^2)*cos(3*b*x + 3*a
)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a)^2 + (cos(2*b*x
+ 3*a)^2 + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + cos(a)^2 + sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + sin(a)^2)*
sin(3*b*x + 3*a)^2 + (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a)
^2 + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*
a)^2 + 2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(
b*x + a)^2*cos(a) + cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*cos(2*b*x
+ 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + sin(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a)*sin(a) + (cos(
a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(cos(b*x + a)^2*sin(a) + sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(2*b*x
+ 3*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*sin(b*x + a) + 1) + 4*((b*x*sin(2*b*x + 3*a) + b*x*sin(a) - co
s(2*b*x + 3*a) - cos(a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x*sin(a) - cos(a))*cos(b*x + a)^2 + (b*x*sin(2*b*x + 3*a) + b
*x*sin(a) - cos(2*b*x + 3*a) - cos(a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b*x*sin(a) - cos(a))*sin(b*x + a)^2 + 2*(b*x*cos(
b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a) + (b*x*sin(a) - cos(a))*cos(b*x + a) - cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*
a) - (cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b*x*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + (b*x*sin(a) -
cos(a))*sin(b*x + a) - cos(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + (b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x +
a)^2)*sin(2*b*x + 3*a))*sin(3*b*x + 4*a) + 4*(6*b*x*cos(b*x + 2*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + 6*b*x*sin(b*x + 2*a)*
sin(b*x + a)*sin(a) + 2*(3*b*x*cos(b*x + 2*a)*sin(b*x + a) - cos(a))*cos(2*b*x + 3*a) - cos(2*b*x + 3*a)^2 - c
os(a)^2 + 2*(3*b*x*sin(b*x + 2*a)*sin(b*x + a) - sin(a))*sin(2*b*x + 3*a) - sin(2*b*x + 3*a)^2 - sin(a)^2)*sin
(3*b*x + 3*a) + 4*(2*b*x*cos(b*x + a)*sin(a) + 3*(b*x*cos(b*x + a)^2 + b*x*sin(b*x + a)^2)*sin(b*x + 2*a) - 2*
sin(b*x + a)*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a) + 12*(b*x*cos(b*x + a)^2*sin(a) + b*x*sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(b*x + 2
*a) - 4*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*sin(b*x + a))*c^2*d/((cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*cos(b*x + a)^2 + (cos(a)^2 + sin(
a)^2)*b^2*sin(b*x + a)^2 + (b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^2*sin(2*b*x + 3*a)^2 +
2*b^2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b^2*cos(b*x + a)^2 + b^2*sin(
b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^2*sin(2*b*x + 3*a
)^2 + 2*b^2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b^2*cos(b*x + a)^2 + b^
2*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*(b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x
+ a)*cos(a) + b^2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^2*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 +
sin(a)^2)*b^2*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(b^2*cos(b*x + a)^2*cos(a) + b^2*cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2
*b*x + 3*a) + 2*(b^2*cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^2*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + b^2*sin(2*
b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^2*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*sin(b*x + a
))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(b^2*cos(b*x + a)^2*sin(a) + b^2*sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a)) - (6*((b^3*d
^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + 2*a) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2
*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + 2*a) + (b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) -
4*b*d^3*x*cos(a) - 4*b*c*d^2*cos(a))*cos(b*x + 2*a) + (b^3*d^3*x^3*sin(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*sin(a) - 4*b*d^3*
x*sin(a) - 4*b*c*d^2*sin(a))*sin(b*x + 2*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + 2*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*
x - 6*b*c*d^2)*cos(b*x + a) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 6*((b
^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + 2*a) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c
*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + 2*a) + (b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(
a) - 4*b*d^3*x*cos(a) - 4*b*c*d^2*cos(a))*cos(b*x + 2*a) + (b^3*d^3*x^3*sin(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*sin(a) - 4*b*
d^3*x*sin(a) - 4*b*c*d^2*sin(a))*sin(b*x + 2*a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + 2*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*
d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(b*x + a) - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2
*((b^3*d^3*x^3*cos(a) - 6*b*c*d^2*cos(a) - 6*d^3*sin(a) + 3*(b^3*c*d^2*cos(a) + b^2*d^3*sin(a))*x^2 + 6*(b^2*c
*d^2*sin(a) - b*d^3*cos(a))*x + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 3*(
b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b^3*d^3*x^3*cos(a) - 6*b*c*d^2*co
s(a) - 6*d^3*sin(a) + 3*(b^3*c*d^2*cos(a) + b^2*d^3*sin(a))*x^2 + 6*(b^2*c*d^2*sin(a) - b*d^3*cos(a))*x)*cos(b
*x + a)^2 + (b^3*d^3*x^3*cos(a) - 6*b*c*d^2*cos(a) - 6*d^3*sin(a) + 3*(b^3*c*d^2*cos(a) + b^2*d^3*sin(a))*x^2
+ 6*(b^2*c*d^2*sin(a) - b*d^3*cos(a))*x + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(2*b*x +
3*a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*sin(2*b*x + 3*a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b^3*d^3*x^3*cos(a) - 6*
b*c*d^2*cos(a) - 6*d^3*sin(a) + 3*(b^3*c*d^2*cos(a) + b^2*d^3*sin(a))*x^2 + 6*(b^2*c*d^2*sin(a) - b*d^3*cos(a)
)*x)*sin(b*x + a)^2 + 2*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)
+ 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a) + (b^3*d^3*x^3*cos(a) - 6*b*c*d^2*cos
(a) - 6*d^3*sin(a) + 3*(b^3*c*d^2*cos(a) + b^2*d^3*sin(a))*x^2 + 6*(b^2*c*d^2*sin(a) - b*d^3*cos(a))*x)*cos(b*
x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + ((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*
x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^
2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) + 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*sin(2*b
*x + 3*a)*sin(b*x + a) + (b^3*d^3*x^3*cos(a) - 6*b*c*d^2*cos(a) - 6*d^3*sin(a) + 3*(b^3*c*d^2*cos(a) + b^2*d^3
*sin(a))*x^2 + 6*(b^2*c*d^2*sin(a) - b*d^3*cos(a))*x)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + 3*((b^2*d^3*x^2 + 2*b^2
*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(b*x + a)^2 + (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a))*cos
(3*b*x + 4*a) + 2*((cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^3*d^3*x^3 + 3*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^3*c*d^2*x^2 - 6*(cos(a)^2 + s
in(a)^2)*b*d^3*x - 6*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*c*d^2 + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*c
os(2*b*x + 3*a)^2 + 6*(b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) - 4*b*d^3*x*cos(a) - 4*b*c*d^2*cos(a))*cos(
b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 6*(b^3*
d^3*x^3*sin(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*sin(a) - 4*b*d^3*x*sin(a) - 4*b*c*d^2*sin(a))*cos(b*x + a)*sin(b*x + 2*a) + 2
*(b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) - 6*b*d^3*x*cos(a) - 6*b*c*d^2*cos(a) + 3*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c
*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*cos(b*x + 2*a)*cos(b*x + a))*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b^3*d^3*x^3*sin(a) + 3*b^
3*c*d^2*x^2*sin(a) - 6*b*d^3*x*sin(a) - 6*b*c*d^2*sin(a) + 3*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*
c*d^2)*cos(b*x + a)*sin(b*x + 2*a))*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(3*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2
- 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*cos(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*sin(b*x + a)
^2)*cos(b*x + 2*a) + 2*(b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) - 6*b*d^3*x*cos(a) - 6*b*c*d^2*cos(a))*cos
(b*x + a) - 6*(b^2*d^3*x^2*cos(a) + 2*b^2*c*d^2*x*cos(a) - 2*d^3*cos(a))*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 3*a) + 6*((
b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) - 4*b*d^3*x*cos(a) - 4*b*c*d^2*cos(a))*cos(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*x
^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) - 4*b*d^3*x*cos(a) - 4*b*c*d^2*cos(a))*sin(b*x + a)^2)*cos(b*x + 2*a) + 2*(
(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^3*d^3*x^3 + 3*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^3*c*d^2*x^2 - 6*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*d^3*x -
6*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b*c*d^2)*cos(b*x + a) - ((cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4*cos(b*x + a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)
^2)*b^4*sin(b*x + a)^2 + (b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^4*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*
b^4*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4)*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b^4*cos(b*x + a)^2 + b^4*sin(b*
x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^4*sin(2*b*x + 3*a)^
2 + 2*b^4*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b^4*cos(b*x + a)^2 + b^4*
sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*(b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2*cos(b*x + a) + 2*b^4*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x +
a)*cos(a) + b^4*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + si
n(a)^2)*b^4*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(b^4*cos(b*x + a)^2*cos(a) + b^4*cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b
*x + 3*a) + 2*(b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^4*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + b^4*sin(2*b*
x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^4*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4*sin(b*x + a))
*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(b^4*cos(b*x + a)^2*sin(a) + b^4*sin(b*x + a)^2*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a))*integrate(6*((
d^3*x^2 + 2*c*d^2*x)*cos(2*b*x + 2*a)*cos(b*x + a) + (d^3*x^2 + 2*c*d^2*x)*sin(2*b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + (d^
3*x^2 + 2*c*d^2*x)*cos(b*x + a))/(b*cos(2*b*x + 2*a)^2 + b*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 2*b*cos(2*b*x + 2*a) + b), x)
+ 2*((b^3*d^3*x^3*sin(a) - 6*b*c*d^2*sin(a) + 6*d^3*cos(a) + 3*(b^3*c*d^2*sin(a) - b^2*d^3*cos(a))*x^2 - 6*(b^
2*c*d^2*cos(a) + b*d^3*sin(a))*x - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(2*b*x + 3*a) + (b^3*d^3*x^3 + 3
*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*sin(2*b*x + 3*a))*cos(3*b*x + 3*a)^2 + (b^3*d^3*x^3*sin(a) - 6*b*c*d^2
*sin(a) + 6*d^3*cos(a) + 3*(b^3*c*d^2*sin(a) - b^2*d^3*cos(a))*x^2 - 6*(b^2*c*d^2*cos(a) + b*d^3*sin(a))*x)*co
s(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*x^3*sin(a) - 6*b*c*d^2*sin(a) + 6*d^3*cos(a) + 3*(b^3*c*d^2*sin(a) - b^2*d^3*cos(a))*x
^2 - 6*(b^2*c*d^2*cos(a) + b*d^3*sin(a))*x - 3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(2*b*x + 3*a) + (b^3*d
^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*sin(2*b*x + 3*a))*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b^3*d^3*x^3*sin(a) -
6*b*c*d^2*sin(a) + 6*d^3*cos(a) + 3*(b^3*c*d^2*sin(a) - b^2*d^3*cos(a))*x^2 - 6*(b^2*c*d^2*cos(a) + b*d^3*sin
(a))*x)*sin(b*x + a)^2 - 2*(3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a) - (b^3*d^3*x
^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a) - (b^3*d^3*x^3*sin(a) - 6*b*c*d^2*
sin(a) + 6*d^3*cos(a) + 3*(b^3*c*d^2*sin(a) - b^2*d^3*cos(a))*x^2 - 6*(b^2*c*d^2*cos(a) + b*d^3*sin(a))*x)*cos
(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) - 3*((b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(b*x + a)^2 + (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c
*d^2*x - 2*d^3)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) - 2*(3*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(2*b*x + 3*a)
*sin(b*x + a) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x + a) - (b^3*d
^3*x^3*sin(a) - 6*b*c*d^2*sin(a) + 6*d^3*cos(a) + 3*(b^3*c*d^2*sin(a) - b^2*d^3*cos(a))*x^2 - 6*(b^2*c*d^2*cos
(a) + b*d^3*sin(a))*x)*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + ((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^
2)*cos(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 6*b*d^3*x - 6*b*c*d^2)*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a))*
sin(3*b*x + 4*a) - 6*((cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*d^3*x^2 + 2*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*c*d^2*x - 2*(cos(a)^2 +
sin(a)^2)*d^3 + (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^3)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x - 2*d^
3)*sin(2*b*x + 3*a)^2 - 2*(b^3*d^3*x^3*cos(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*cos(a) - 4*b*d^3*x*cos(a) - 4*b*c*d^2*cos(a))*
cos(b*x + 2*a)*sin(b*x + a) - 2*(b^3*d^3*x^3*sin(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*sin(a) - 4*b*d^3*x*sin(a) - 4*b*c*d^2*si
n(a))*sin(b*x + 2*a)*sin(b*x + a) + 2*(b^2*d^3*x^2*cos(a) + 2*b^2*c*d^2*x*cos(a) - 2*d^3*cos(a) - (b^3*d^3*x^3
+ 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*cos(b*x + 2*a)*sin(b*x + a))*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b^2*d^3*x^2*sin
(a) + 2*b^2*c*d^2*x*sin(a) - 2*d^3*sin(a) - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*sin(b*x +
2*a)*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 3*a))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(2*(b^3*d^3*x^3*sin(a) + 3*b^3*c*d^2*x^2*sin(a) - 6*
b*d^3*x*sin(a) - 6*b*c*d^2*sin(a))*cos(b*x + a) + 3*((b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*c
os(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 - 4*b*d^3*x - 4*b*c*d^2)*sin(b*x + a)^2)*sin(b*x + 2*a) - 6*(b^
2*d^3*x^2*sin(a) + 2*b^2*c*d^2*x*sin(a) - 2*d^3*sin(a))*sin(b*x + a))*sin(2*b*x + 3*a) + 6*((b^3*d^3*x^3*sin(a
) + 3*b^3*c*d^2*x^2*sin(a) - 4*b*d^3*x*sin(a) - 4*b*c*d^2*sin(a))*cos(b*x + a)^2 + (b^3*d^3*x^3*sin(a) + 3*b^3
*c*d^2*x^2*sin(a) - 4*b*d^3*x*sin(a) - 4*b*c*d^2*sin(a))*sin(b*x + a)^2)*sin(b*x + 2*a) - 6*((cos(a)^2 + sin(a
)^2)*b^2*d^3*x^2 + 2*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^2*c*d^2*x - 2*(cos(a)^2 + sin(a)^2)*d^3)*sin(b*x + a))/((cos(a)^2
+ sin(a)^2)*b^4*cos(b*x + a)^2 + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4*sin(b*x + a)^2 + (b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*c
os(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^4*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4)*c
os(3*b*x + 3*a)^2 + (b^4*cos(b*x + a)^2 + b^4*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a)^2 + (b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2 + 2
*b^4*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a) + b^4*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*
b^4)*sin(3*b*x + 3*a)^2 + (b^4*cos(b*x + a)^2 + b^4*sin(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*(b^4*cos(2*b*x + 3*
a)^2*cos(b*x + a) + 2*b^4*cos(2*b*x + 3*a)*cos(b*x + a)*cos(a) + b^4*cos(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)^2 + 2*b^4*c
os(b*x + a)*sin(2*b*x + 3*a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4*cos(b*x + a))*cos(3*b*x + 3*a) + 2*(b^4*cos(b*
x + a)^2*cos(a) + b^4*cos(a)*sin(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 3*a) + 2*(b^4*cos(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^4
*cos(2*b*x + 3*a)*cos(a)*sin(b*x + a) + b^4*sin(2*b*x + 3*a)^2*sin(b*x + a) + 2*b^4*sin(2*b*x + 3*a)*sin(b*x +
a)*sin(a) + (cos(a)^2 + sin(a)^2)*b^4*sin(b*x + a))*sin(3*b*x + 3*a) + 2*(b^4*cos(b*x + a)^2*sin(a) + b^4*sin
(b*x + a)^2*sin(a))*sin(2*b*x + 3*a))

Giac [F]

\[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\int { {\left (d x + c\right )}^{3} \sec \left (b x + a\right )^{2} \sin \left (3 \, b x + 3 \, a\right ) \,d x } \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*sec(b*x+a)^2*sin(3*b*x+3*a),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*sec(b*x + a)^2*sin(3*b*x + 3*a), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (c+d x)^3 \sec ^2(a+b x) \sin (3 a+3 b x) \, dx=\text {Hanged} \]

[In]

int((sin(3*a + 3*b*x)*(c + d*x)^3)/cos(a + b*x)^2,x)

[Out]

\text{Hanged}